洛必达法则 应用举例

基本知识

洛毕达法则(L’Hospital)法则，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设

• (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
• (2)在点a的去心邻域内，f’(x)及F’(x)都存在且$ F’(x) \ne 0 $；
• (3)当x→a时$ lim_{x \to a}\frac{f’(x)}{F’(x)} $存在(或为无穷大)，那么x→a时 $$\lim\_{x \to a}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim\_{x \to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$$ 又设
  (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
  (2)当|x|>N时f’(x)及F’(x)都存在，且$ F’(x) \ne 0 $；
  (3)当x→∞时 $ lim_{x \to \infty}\frac{f’(x)}{F’(x)} $ 存在(或为无穷大)，那么
  x→∞时 $$\lim\_{x \to \infty}\frac{f(x)}{F(x)} = \lim\_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$$

举例1

求解 $\lim\_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right)\notag\$ 的值

$$\begin{align} & \log L = \lim\_{x \to 0}\log\left(\frac{\sin x}{x}\right) \\\\ & \log L = \lim\_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\log\left(1 + \frac{\sin x}{x} - 1\right) \\\\ & \log L = \lim\_{x \to 0}\frac{\sin x}{x - \sin x}\cdot\left(\dfrac{\sin x}{x} - 1\right)\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{\sin x}{x} - 1\right)}{\dfrac{\sin x}{x} - 1} \\\\ & \log L = \lim\_{x \to 0}\frac{-\sin x}{x}\cdot\dfrac{\log\left(1 + \dfrac{\sin x}{x} - 1\right)}{\dfrac{\sin x}{x} - 1} \\\\ & \log L = -1\cdot\lim_{t \to 0}\frac{\log(1 + t)}{t}\text{ (putting }t = \frac{\sin x}{x} - 1) \\\\ & \log L = -1\cdot 1 = -1 \end{align}$$

举例2

求解 $\lim_{x\to\infty} \frac{x^{2011} + 2010^x}{-x^{2010} + 2011^x}$ 的值

首先注意到 $a^x=\exp(x\ln a)$ 然后通过化简得

$$\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln(2010))^{2012} 2010^x}{(\ln(2011))^{2012} 2011^x}$$

最终得到

$\left(\frac{2010}{2011}\right)^x$ 得到答案为0